设函数f（x）=ax3-（a+b）x2+bx+c，其中a＞0，b，c∈R．（1）若f′(13)=0，求函数f（x）的单调增区间；（
设函数f（x）=ax3-（a+b）x2+bx+c，其中a＞0，b，c∈R．（1）若f′(13)=0，求函数f（x）的单调增区间；（2）求证：当0≤x≤1时，|f'（x）|...
设函数f（x）=ax3-（a+b）x2+bx+c，其中a＞0，b，c∈R．（1）若f′(13)=0，求函数f（x）的单调增区间；（2）求证：当0≤x≤1时，|f'（x）|≤max{f'（0），f'（1）}．（注：max{a，b}表示a，b中的最大值）
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（1）′由f′(
)=0，得a=b． …（1分）
故f（x）=ax3-2ax2+ax+c．
由f′（x）=a（3x2-4x+1）=0，得x1=
，x2=1．…（2分）列表：
由表可得，函数f（x）的单调增区间是（-∞，
）及（1，+∞）．…（4分）
（2）f′（x）=3ax2-2（a+b）x+b=3a(x?
)2?
．
①当
≥1，或
≤0时，则f′（x）在[0，1]上是单调函数，
所以f′（1）≤f′（x）≤f′（0），或f′（0）≤f′（x）≤f′（1），且f′（0）+f′（1）=a＞0．
所以|f′（x）|≤max{f′（0），f′（1）}．…（8分）
②当0＜
＜1，即-a＜b＜2a，则?
≤f′（x）≤max{f′（0），f′（1）}．
（i） 当-a＜b≤
时，则0＜a+b≤
．
所以 f′（1）?
=
=
≥
a2＞0．
所以|f′（x）|≤max{f′（0），f′（1）}． …（12分）
（ii） 当
＜b＜2a时，则(b?
)(b?2a)＜0，即a2+b2-
ab＜0．
所以b?
| 1 |
| 3 |
故f（x）=ax3-2ax2+ax+c．
由f′（x）=a（3x2-4x+1）=0，得x1=
| 1 |
| 3 |
| x | （-∞，
|
| （
| 1 | （1，+∞） | ||||||
| f′（x） | + | 0 | - | 0 | + | ||||||
| f（x） | 增 | 极大值 | 减 | 极小值 | 增 |
| 1 |
| 3 |
（2）f′（x）=3ax2-2（a+b）x+b=3a(x?
| a+b |
| 3a |
| a2+b2?ab |
| 3a |
①当
| a+b |
| 3a |
| a+b |
| 3a |
所以f′（1）≤f′（x）≤f′（0），或f′（0）≤f′（x）≤f′（1），且f′（0）+f′（1）=a＞0．
所以|f′（x）|≤max{f′（0），f′（1）}．…（8分）
②当0＜
| a+b |
| 3a |
| a2+b2?ab |
| 3a |
（i） 当-a＜b≤
| a |
| 2 |
| 3a |
| 2 |
所以 f′（1）?
| a2+b2?ab |
| 3a |
| 2a2?b2?2ab |
| 3a |
| 3a2?(a+b)2 |
| 3a |
| 1 |
| 4 |
所以|f′（x）|≤max{f′（0），f′（1）}． …（12分）
（ii） 当
| a |
| 2 |
| a |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
所以b?
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