Question

如图，点M是矩形ABCD的边AD中点，点P是BC边上一动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足分别为E、F，（1）当四边形PEM

如图，点M是矩形ABCD的边AD中点，点P是BC边上一动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足分别为E、F，（1）当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长与宽应满足什么条件？（2）在（1）中，当点P运动到什么位置时，四边形PEMF变为正方形？为什么？

Answer 1

解答：（1）当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长是宽的2倍．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=DC，
∵在△AMB与△DMC中，

AB＝DC ∠A＝∠D AM＝DM

，
∴△AMB≌△DMC（SAS），
∴∠AMB=∠4，
∵四边形PEMF为矩形，
∴∠BMC=90°，
∴∠AMB=∠4=45°，
∴AM=DM=DC，即AD=2DC；

（2）答：当点P运动到BC中点时，四边形PEMF变为正方形．
∵△AMB≌△DMC，
∴MB=MC．
∵四边形PEMF为矩形，
∴PE∥MB，PF∥MC，
又∵点P是BC中点，
∴PE=PF=

1

2

MC，
∴四边形PEMF为正方形．