Question

（2014?海淀区一模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点，DF⊥AC于F．

（2014?海淀区一模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点，DF⊥AC于F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若cosC=35，CF=9，求AE的长．

Answer 1

（1）连接OD，AD，
∵AB是⊙的直径，
∴∠ADB=90°，
又∵AB=AC，
∴BD=CD
又∵OB=OA，
∴OD∥AC
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF
又∵OD为⊙的半径，
∴DF为⊙O的切线．

（2）连接BE交OD于M，过O作ON⊥AE于N，
则AE=2NE，
∵cosC=

3

5

，CF=9，
∴DC=15，
∴DF=

152?92

=12，
∵AB是直径，
∴∠AEB=∠CEB=90°，
∵DF⊥AC，OD⊥DF，
∴∠DFE=∠FEM=∠MDF=90°，
∴四边形DMEF是矩形，
∴EM=DF=12，∠DME=90°，DM=EF，
即OD⊥BE，
同理四边形OMEN是矩形，
∴OM=EN，
∵OD为半径，
∴BE=2EM=24，
∵∠BEA=∠DFC=90°，∠C=∠C，
∴△CFD∽△CEB，
∴

DF

BE

=

CF

CE

，
∴

12

24

=

9

9+EF

，
∴EF=9=DM，
设⊙O的半径为R，
则在Rt△EMO中，由勾股定理得：R²=12²+（R-9）²，
解得：R=

225

18

，
则EN=OM=

225

18

-9=

63

18

=

7

2

，
∴AE=2EN=7．

Answer 2

(1)证明：连接OD
因为AB=AC
所以三角形ABC是等腰三角形
因为AB是圆O的直径
所以角ADB=90度
AD是等腰三角形ABC的垂线，角平分线
所以角BAD=1/2角BAC
因为角BOC=弧BD
角BAD=1/2弧BD
俗语角BOC=角BAC
所以OD平行AC
所以角ODF=角CFD
因为DF垂直AC
所以角CFD=90度
所以角ODF=90度
所以半径OD垂直DF
所以DF为圆O的切线
（2）解：连接DE
因为AB=AC
所以角B=角C
因为角CED=角B
所以角C=角CED
所以CD=ED
所以三角形CDE是等腰三角形
因为DF垂直AC
所以DF是等腰三角形CDF的垂线，中线
所以CF=EF=1/2CE
角AFD=角CFD=90度（已证）
所以三角形CFD和三角形AFD是直角三角形
所以CF^2+DF^2=CD^2
cosC=DF/CD=3/5
tanC=DF/CF
tan角ADF=AF/DF
所以tanC=4/3
因为CF=9
所以DF=12
EF=9
因为DF是圆O的切线
所以角ADF=角B
因为角B=角C（已证）
所以角ADF=角C
所以tanC=tan角ADF=AF/DF=4/3
所以AF=14
因为AF=AE+EF
所以AE=16-12=4
所以AE的长是4