Question

（2014?郑州模拟）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上有一点Q（2，y0）到焦点F的距离为52．（Ⅰ）求p及y0的值

（2014?郑州模拟）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上有一点Q（2，y0）到焦点F的距离为52．（Ⅰ）求p及y0的值；（Ⅱ）如图，设直线y=kx+b与抛物线交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），且|y1-y2|=2，过弦AB的中点M作垂直于y轴的直线与抛物线交于点D，连接AD，BD．试判断△ABD的面积是否为定值？若是，求出定值；否则，请说明理由．

Answer 1

（I）由抛物线C：y²=2px（p＞0），可得焦点(

p

2

，0)，
∵抛物线上的点Q（2，y₀）到焦点F的距离为

5

2

．
∴2+

p

2

＝

5

2

，p=1．
∴y²=2x，
把Q（2，y₀）代入抛物线方程，解得y₀=±2．
（II）联立

y＝kx+b y2＝2x

，得：k²x²+2（kb-1）x+b²=0（k≠0），△＞0，即1-2kb＞0，
x1+x2＝

2(1?kb)

k2

，x1x2＝

b2

k2

．
|y1?y2|2＝k2|x1?x2|2＝k2[(x1+x2)2?4x1x2]=

4(1?2kb)

k2

＝4，
∴1-2kb=k²，
M(

1?kb

k2

，

1

k

)，D(

1

2k2

，

1

k

)，
∴△ABC的面积S＝

1

2

|MD|?|y1?y2|＝

1

2

×|

1?2kb

2k2

|×2＝

1

2

．