Question

几个数学题，拜托了！

如题：
1.一直一曲线是与两个定点O（0,0), A(3,0)距离的比例为1：2的点的轨迹，则求此曲线的方程。

2.求过A（2，-1）和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=-2x上的圆的直线方程。

3.求垂直于直线3x-4y-7=0,且与两坐标轴构成周长为10的三角形的直线方程

4.自点A（-3,3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x²+y²-4x-4y+7=0相切，求光线L的直线方程。

Answer 1

1、解：设点P（x，y）是此曲线上的任意一点。依题意，得 |AP| = 2|OP| ，即
√[(x-3)² + y²] = 2√(x² + y²) ， 整理，得此曲线方程：(x+1)² + y² = 4。
2、解：依题意，可设圆心坐标为（a，-2a），半径为r，则圆的方程为
(x-a)² + (y+2a)² = r²...............................................①。
圆心到直线x+y=1的距离公式 d = |a-2a+1|/√(1²+1²) = r ，整理得
r² = (a+1)²/2..........................................................②。
将A（2，-1）代入圆的方程①，得
(2-a)² + (-1+2a)² = r²..............................................③。
联立②③，解得：a = 1 ，r² = 2 。所以圆的方程为：(x-1)² + (y+2)² = 2 。
3、解：因为所求直线垂直于直线3x-4y-7=0。所以所求直线的斜率为-4/3。设其方程为
y = - 4x/3 + b 。
令x=0，得y=b；令y=0，得x=3b/4 。那么根据勾股定理，该直线被两坐标轴截得的线段长度等于√[b²+(3b/4)²] =5|b|/4。则依题意，得
|b| + |3b/4| + 5|b|/4 = 10 。解得：b = ±10/3 。 所以所求直线方程为 y=- 4x/3 ±10/3 。
4、解：设光线L所在的直线方程为y-3 = k(x+3)。
令y=0，解得：x = -3-3/k。那么反射点的坐标为(-3-3/k，0)。
根据光的反射定律，可知反射光线的斜率为-k，那么反射光线的直线方程为
y = -k (x +3 +3/k )，化简，得 y = -kx-3k-3
将其代入已知圆的方程，并消去y，整理后，得
( k²+1 )x² + (6k² + 10k -4 )x + 9k² + 30k + 28 = 0 .......................................①。
而反射光线与圆相切，即方程①的判别式等于零。所以
(6k² + 10k -4)² - 4 ( k²+1 )(9k² + 30k + 28) = 0 。整理，得
12k² +25k +12 = 0 。解得：k=-4/3，或-3/4。
所以，光线L所在的直线方程为：4x+3y+3=0,或3x+4y-3=0。