Question

高中数学第十八题求解。

Answer 1

f(x)=(1/3)x^3-x+c, f'(x)=x^2-1=(x+1)(x-1), -1<x<1时f'(x)<0,f(x)是减函数；x>1时f'(x) >0,f(x)是增函数。 f(x)在区间（0，2）内有唯一零点， <==>f(0)f(2)<0,<==>c(2/3+c)<0,<==>-2/3 <c<0. (3)|f(x1)-f(x2)|=|(1/3)(x1^3-x2^3)-b(x1-x2)| =|x1-x2||(x1^2+x1x2+x2^2)/3-b|≤4/3, 设u=|x1-x2|,x1、x2∈[-1,1], ∴u的值域是[0,2], v=x1^2+x1x2+x2^2=（x1+x2/2)^2+3x2 ^2/4的值域是[0,3], ∴|b-v/3|<=4/(3u)对u∈(0,2]恒成立， ∴|b-v/3|<=2/3, ∴-2/3<=b-v/3<=2/3, ∴(v-2)/3<=b<=(v+2)/3, ∴1/3<=b<=2/3

追答

追问

不过这里能不能不用求导呀？我们还没有学。

追答

额，还没学啊，你高中还是初中啊

高中的函数都是用导来求的这样才简单。然后题目告诉的条件那些太少了，只能用导来求

Answer 2

(1)f'（x）=x^2 -b，所以f'（1）=1-b=2，所以b=-1。所以f（x）=1/3 x^3 +x+c。令x=1，解y=2x+1得y=3，所以（1，3）在f（x）上，将其代入f（x）的解析式可解得c=5/3。

(2)f(x)=(1/3)x^3-x+c,
f'(x)=x^2-1=(x+1)(x-1),
-1<x<1时f'(x)<0,f(x)是减函数；x>1时f'(x)>0,f(x)是增函数。
f(x)在区间（0，2）内有唯一零点，
<==>f(0)f(2)<0,<==>c(2/3+c)<0,<==>-2/3<c<0.

(3)|f(x1)-f(x2)|=|(1/3)(x1^3-x2^3)-b(x1-x2)|
=|x1-x2||(x1^2+x1x2+x2^2)/3-b|≤4/3,
设u=|x1-x2|,x1、x2∈[-1,1],
∴u的值域是[0,2],
v=x1^2+x1x2+x2^2=（x1+x2/2)^2+3x2^2/4的值域是[0,3],
∴|b-v/3|<=4/(3u)对u∈(0,2]恒成立，
∴|b-v/3|<=2/3,
∴-2/3<=b-v/3<=2/3,
∴(v-2)/3<=b<=(v+2)/3,
∴1/3<=b<=2/3,为所求.

追问

不过这里能不能不用求导呀？我们还没有学。

追答

如果不能运用求导的方法，那么题目的条件太少了，解不了（这里运用到的就是函数图像在某点的导数为该点切线方程的斜率）

追问

谢谢你了。

Answer 3

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