Question

设函数f（x）=2|x-1|+x-1，g（x）=16x2-8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．（Ⅰ）求M；（

设函数f（x）=2|x-1|+x-1，g（x）=16x2-8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：x2f（x）+x[f（x）]2≤14．

Answer 1

（Ⅰ）由f（x）=2|x-1|+x-1≤1 可得

x≥1 3x?3≤1

 ①，或

x＜1 1?x≤1

 ②．
解①求得1≤x≤

4

3

，解②求得 0≤x＜1．
综上，原不等式的解集为[0，

4

3

]．
（Ⅱ）由g（x）=16x²-8x+1≤4，求得-

1

4

≤x≤

3

4

，∴N=[-

1

4

，

3

4

]，∴M∩N=[0，

3

4

]．
∵当x∈M∩N时，f（x）=1-x，x²f（x）+x[f（x）]² =xf（x）[x+f（x）]
=

1

4

-(x?

1

2

)2≤

1

4

，
故要证的不等式成立．