Question

已知：△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，AB=BC，AD=DE，按图1放置，使点E在BC上，取CE

已知：△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，AB=BC，AD=DE，按图1放置，使点E在BC上，取CE的中点F，连接DF、BF．（1）探索DF、BF的数量关系和位置关系，并证明；（2）将图1中△ADE绕A点顺时针旋转45°，再连接CE，取CE的中点F（如图2），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；（3）将图1中△ADE绕A点转动任意角度（旋转角在0°到90°之间），再连接CE，取CE的中点F（如图3），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论．

Answer 1

（1）DF=BF且DF⊥BF．（1分）
证明：如图1：
∵∠ABC=∠ADE=90°，AB=BC，AD=DE，
∴∠CDE=90°，∠AED=∠ACB=45°，
∵F为CE的中点，
∴DF=EF=CF=BF，
∴DF=BF；（2分）
∴∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠BCF，
∴∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°，
即：∠DFB=90°，
∴DF⊥BF．（3分）

（2）仍然成立．
证明：如图2，延长DF交BC于点G，
∵∠ABC=∠ADE=90°，
∴DE∥BC，
∴∠DEF=∠GCF，
又∵EF=CF，∠DFE=∠GFC，
∴△DEF≌△GCF，
∴DE=CG，DF=FG，（4分）
∵AD=DE，AB=BC，
∴AD=CG，
∴BD=BG，（5分）
又∵∠ABC=90°，
∴DF=BF且DF⊥BF．（6分）

（3）仍然成立．证明：如图3，延长BF至点G，使FG=BF，连接DB、DG、GE，
在△EFG与△CFB中，
∵

FG＝BF ∠EFG＝∠CFB EF＝CF

，
∴△EFG≌△CFB，
∴EG=CB，∠EGF=∠CBF，
∴EG∥CB，
∵AB=BC，AB⊥CB，
∴EG=AB，EG⊥AB，
∵∠ADE=90°，EG⊥AB，
又∵∠AED=∠DAE，
∴∠DAB=∠DEG，
在△DAB和△DEG中，
∵

AD＝DE ∠DAB＝∠DEG AB＝EG

∴△DAB≌△DEG（SAS），
∴DG=DB，∠ADB=∠EDG，（7分）
∴∠BDG=∠ADE=90°，
∴△BGD为等腰直角三角形，
∴DF=BF且DF⊥BF．（8分）

Answer 2

（1）DF=BF且DF⊥BF．（1分）证明：如图1：∵∠ABC=∠ADE=90°，AB=BC，AD=DE，∴∠CDE=90°，∠AED=∠ACB=45°，∵F为CE的中点，∴DF=EF=CF=BF，∴DF=BF；（2分）∴∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠BCF，∴∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°，即：∠DFB=90°，∴DF⊥BF．（3分）（2）仍然成立．

证明：如图2，延长DF交BC于点G，∵∠ABC=∠ADE=90°，∴DE∥BC，∴∠DEF=∠GCF，又∵EF=CF，∠DFE=∠GFC，∴△DEF≌△GCF，∴DE=CG，DF=FG，（4分）∵AD=DE，AB=BC，∴AD=CG，∴BD=BG，（5分）又∵∠ABC=90°，∴DF=BF且DF⊥BF．（6分）（3）仍然成立．证明：如图3，延长BF至点G，使FG=BF，连接DB、DG、GE，在△EFG与△CFB中，∵FG＝BF∠EFG＝∠CFBEF＝CF，

∴△EFG≌△CFB，∴EG=CB，∠EGF=∠CBF，∴EG∥CB，∵AB=BC，AB⊥CB，∴EG=AB，EG⊥AB，∵∠ADE=90°，EG⊥AB，又∵∠AED=∠DAE，∴∠DAB=∠DEG，在△DAB和△DEG中，∵AD＝DE∠DAB＝∠DEGAB＝EG∴△DAB≌△DEG（SAS），∴DG=DB，∠ADB=∠EDG，（7分）∴∠BDG=∠ADE=90°，∴△BGD为等腰直角三角形，∴DF=BF且DF⊥BF．（8分）