Question

如图1，△ACB、△AED都为等腰直角三角形，∠AED=∠ACB=90°，点D在AB上，连CE，M、N分别为BD、CE的中点．

如图1，△ACB、△AED都为等腰直角三角形，∠AED=∠ACB=90°，点D在AB上，连CE，M、N分别为BD、CE的中点．（1）求证：MN⊥CE；（2）如图2将△AED绕A点逆时针旋转30°，求证：CE=2MN．

Answer 1

解答：（1）证明：延长DN交AC于F，连BF，
∵N为CE中点，
∴EN=CN，
∵△ACB和△AED是等腰直角三角形，∠AED=∠ACB=90°，DE=AE，AC=BC，
∴∠EAD=∠EDA=∠BAC=45°，
∴DE∥AC，
∴△EDN∽△CFN，
∴

DE

CF

=

EN

CN

=

DN

NF

，
∵EN=NC，
∴DN=FN，FC=ED，
∴MN是△BDF的中位线，
∴MN∥BF，
∵AE=DE，DE=CF，
∴AE=CF，
∵∠EAD=∠BAC=45°，
∴∠EAC=∠ACB=90°，
在△CAE和△BCF中，

CA＝BC ∠CAE＝∠BCF AE＝CF

，
∴△CAE≌△BCF（SAS），
∴∠ACE=∠CBF，
∵∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠CBF+∠BCE=90°，
即BF⊥CE，
∵MN∥BF，
∴MN⊥CE．

（2）证明：延长DN到G，使DN=GN，连接CG，延长DE、CA交于点K，
∵M为BD中点，
∴MN是△BDG的中位线，
∴BG=2MN，
在△EDN和?CGN中，

DN＝NG ∠DNE＝∠GNC EN＝NC

，
∴△EDN≌△CGN（SAS），
∴DE=CG=AE，∠GCN=∠DEN，
∴DE∥CG，
∴∠KCG=∠CKE，
∵∠CAE=45°+30°+45°=120°，
∴∠EAK=60°，
∴∠CKE=∠KCG=30°，
∴∠BCG=120°，
在△CAE和△BCG中，

AC＝BC ∠CAE＝∠BCG AE＝CG

，
∴△CAE≌△BCG（SAS），
∴BG=CE，
∵BG=2MN，
∴CE=2MN．