Question

如图所示，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠EAD=90°，连接BD、CE．（1）求证：BD=CE；（2）

如图所示，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠EAD=90°，连接BD、CE．（1）求证：BD=CE；（2）观察图形，猜想BD与CE之间的位置关系，并证明你的猜想．

Answer 1

解答：证明：（1）∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，（1分）
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE．（2分）
在△ABD和△ACE中：
AB=AC
∠BAD=∠CAE
AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．（5分）
∴BD=CE．（6分）

解：（2）BD与CE相互垂直．（7分）
设AC交BD于点F，EC交BD于点G，
由（1）证得：∠ABD=∠ACE，（8分）
又∵∠AFB=∠GFC，（9分）
在△ABF和△GCF中：
∠BAC=180°-∠ABD-∠AFB，
∠CGF=180°-∠ACE-∠GFC，（11分）
∴∠CGF=∠BAC=90°．
∴BD⊥CE．（12分）