Question

（2011?盐城模拟）（本题文科学生做）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知F1（-4，0），F2（4，0），A（0

（2011?盐城模拟）（本题文科学生做）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知F1（-4，0），F2（4，0），A（0，8），直线y=t（0＜t＜8）与线段AF1、AF2分别交于点P、Q．（Ⅰ）当t=3时，求以F1，F2为焦点，且过PQ中点的椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点Q作直线QR∥AF1交F1F2于点R，记△PRF1的外接圆为圆C．①求证：圆心C在定直线7x+4y+8=0上；②圆C是否恒过异于点F1的一个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

＝1(a＞b＞0)，当t=3时，PQ中点为（0，3），所以b=3
∵a²-b²=16，∴a²=25
∴椭圆的标准方程为

x2

25

+

y2

9

＝1；
（Ⅱ）①证明：直线AF₁：y=2x+8；AF₂：y=-2x+8；
所以可得P（

t?8

2

，t），Q（

8?t

2

，t）
∵直线QR∥AF₁交F₁F₂于点R，∴R（4-t，0）
设△PRF₁的外接圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，则

(4?t)2+(4?t)D+F＝0 16?4D+F＝0 ( t?8 2 )2+t2+ t?8 2 D+tE+F＝0

∴

D＝t E＝4? 7 4 t F＝4t?16

∴圆心坐标为(?

t

2

，

7t

8

?2)
∴圆心C在定直线7x+4y+8=0上；
②由①可得圆C的方程为：x²+y²+tx+（4-

7

4

t）y+4t-16=0
整理可得（x²+y²+4y-16）+t（x-