如图①,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S 1 ,S 2 ,S 3 表示,则不难证明S

如图①,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1,S2,S3表示,则不难证明S1=S2+S3.(1)如图②,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三... 如图①,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S 1 ,S 2 ,S 3 表示,则不难证明S 1 =S 2 +S 3 .(1)如图②,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S 1 ,S 2 ,S 3 表示,那么S 1 ,S 2 ,S 3 之间有什么关系;(不必证明)(2)如图③,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S 1 、S 2 、S 3 表示,请你确定S 1 ,S 2 ,S 3 之间的关系并加以证明;(3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别用S 1 ,S 2 ,S 3 表示,为使S 1 ,S 2 ,S 3 之间仍具有与(2)相同的关系,所作三角形应满足什么条件证明你的结论;(4)类比(1),(2),(3)的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论. 展开
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理顺侚
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设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c,则c 2 =a 2 +b 2
(1)S 1 =S 2 +S 3

(2)S 1 =S 2 +S 3 .证明如下:
显然,S 1 =
3
4
c 2
,S 2 =
3
4
a 2
,S 3 =
3
4
b 2

∴S 2 +S 3 =
3
4
( a 2 + b 2 )=
3
4
c 2
=S 1,
即S 1 =S 2 +S 3

(3)当所作的三个三角形相似时,S 1 =S 2 +S 3 .证明如下:
∵所作三个三角形相似
S 2
S 1
=
a 2
c 2
S 3
S 1
=
b 2
c 2

S 2 + S 3
S 1
=
a 2 + b 2
c 2
=1
∴S 1 =S 2 +S 3

(4)分别以直角三角形ABC三边为一边向外作相似图形,其面积分别用S 1 、S 2 、S 3 表示,则S 1 =S 2 +S 3
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