Question

已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°．如图甲，连接DE，设M为DE的中点．（1）说明：MB

已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°．如图甲，连接DE，设M为DE的中点．（1）说明：MB=MC；（2）设∠BAD=∠CAE，固定△ABD，让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图乙的位置，试问：MB=MC是否还能成立？并证明其结论．

Answer 1

证明：（1）作点M作MP⊥AB于点P， ∵∠ABD=∠ACE=90°． ∴MP ∥ CE ∥ BD． ∵M为DE的中点， ∴CP=BP， ∴MP是BC的中垂线， ∴MB=MC； （2）MB=MC成立． 取AD、AE的中点F、G，连接BF、MF、MG、CG显然线段MG、MF都是△ADE的中位线， ∴四边形MFAG是平行四边形，MG= 1 2 AD，MF= 1 2 AE， ∴∠MFA=∠AGM， 又∵∠DBA=∠ACE=90°， ∴Rt△斜边中线BF= 1 2 AD=MG， CG= 1 2 AE=MF， ∵∠DAB=∠CAE， ∴∠BDA=∠CEA， ∴∠BFA=2∠BDA=2∠CEA=∠CGA， ∴∠BFM=∠BFA-∠MFA=∠CGA-∠AGM=∠MGC， ∴△BFM≌△MGC， ∴MB=MC．