Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，△ADC和△ABE是等边三角形，DE交AB于点F，求证：F是DE中点。

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，△ADC和△ABE是等边三角形，DE交AB于点F，求证：F是DE中点。

Answer 1

过E作EM⊥AB于M
∵RT⊿ABC中，AB=2BC，AC=√3BC
∴AD=AC=√3BC,
等边三角形ABE中，AB=BE,EM=√[(BE²-（AB/2)²]=√[(2BC）²-BC²]=√3BC
∵∠DAF=30°+60°=90°
在⊿DAF,⊿EMF中
∵∠DAF=∠EMF=90°,∠AFD=∠MFE,AD=EM=√3BC
∴⊿DAF≌⊿EMF
∴EF=DF
∴F是DE中点

Answer 2

证明：

过D作BC的平行线，与AB相交于点G，连接EG，DG与AC相交于H，

∵∠CAE=∠BAC+∠BAE=30°+60°=90°，∠ACB=90°，

∴AE‖BC‖DG，

在正△ACD中，易知DH也是中线，即AH=CH，

根据平行线等分线段定理，得

G也是AB的中点，

即AG=(1/2)AB=(1/2)AE

又∵∠DAG=90°，∠ADG=30°，

∴DG=2AG=AE

结合上边的AE‖DG，得

四边形ADGE是平行四边形，

对角线AG和DE相交于点F，

∴F是DE的中点