Question

如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,△ABE和△ACD都是等边三角形,BF=FE,DF交AC于M，求证：AM=MC。

Answer 1

证明：连AF,FC
∵△ABE是等边三角形，BF=EF
∴AF是∠BAE的平分线，
∴∠BAF=∠BAE=60/2=30°
∵∠BAC=30°
∴∠BAF=∠BAC
∴△ABF≌△ABC
∴AF=AC
∵△ACD是等边三角形
∴AC=CD
∴AF=CD
又∠FAD=∠FAC+∠CAD=120°，∠ADC=60°
∴∠FAD+∠CDA=180
∴AF∥CD
∴四边形AFCD是平行四边形
∴AM=CM

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Answer 2

证明：连AF,FC
∵△ABE是等边三角形，BF=EF
∴AF是∠BAE的平分线，
∴∠BAF=∠BAE=60/2=30°
∵∠BAC=30°
∴∠BAF=∠BAC
∴△ABF≌△ABC
∴AF=AC
∵△ACD是等边三角形
∴AC=CD
∴AF=CD
又∠FAD=∠FAC+∠CAD=120°，∠ADC=60°
∴∠FAD+∠CDA=180
∴AF∥CD
∴四边形AFCD是平行四边形
∴AM=CM