Question

如图在RT△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，△ADC和△ABE是等边三角形，DE交AB于点F，求证：F是DE的中点

Answer 1

证明：做EM⊥AB于M    ∵∠ACB=∠AME=90°   ∠6=∠5=60°  AB=AE

    ∴△ABC≌△AME     ∴AC=ME     又∵AD=AC   ∴AD=ME

      ∵∠1=60°   ∠2=30°    ∴   ∠DAF=90°=∠FME    

又∠3=∠4     ∴△ADF≌△MEF     ∴DF=EF

Answer 2

证明：过点E作EG⊥AB，
∵△ABE是等边三角形，EG⊥AB，
∠GEB=30°
∴BG=1/2EB=1/2AB
EG²=EB²-BG²=EB²-1/4EB²
EG=√3/2AB
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°
∴BC=1/2AB
AC²=AB²-BC²=AB²-1/4AB²=3/4AB²
AC=√3/2AB
∴EG=AC=AD
∴EG=BC，
∵∠DAB=60°+30°=90°，
∴DA⊥AB．
∴DA∥EG．
∴∠ADE=∠FEG，∠DAF=∠FGE=90°，
在△ADF与△GEF中，

∠ADF=∠FEG
∠DAF=∠FGE=90°
EG=AD
∴△ADF≌△GEF（AAS），∴DF=EF．
即F为DE的中点．

Answer 3

写因为所以太麻烦了 写简单的

证明：作辅助线，过e做oe垂直ba。
假设bc=1 ∠acb=90°，∠bac=30° 所以ba=2 ca=根号3

△adc和△abe是等边三角形 所以ad=根号3 bc=2

eo垂直ba，由勾股定理可得eo=根号3

∠ofe和∠afd为对角 ∠bac=30°，△adc为等边三角形，所以∠cad=60度，∠dab=∠eoa=90度

所以△eof和△daf全等 所以ef=df 所以f是de的中点！