Question

如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,△ABE和△ACD都是等边三角形，F为BE中点，DF交AC于M，连结DE

如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,△ABE和△ACD都是等边三角形，F为BE中点，DF交AC于M，连结DE，证明：AB平分DE 图见：http://zhidao.baidu.com/question/221523126.html（但要连结DE）

Answer 1

证明：
角CAB+角BAE=90 一个已知是30 一个是等边三角形
所以AE平行BC
D在AC的垂直平分线上（等腰三角形的特征） F又是BE的中点
所以DF过AC的中点且平行AE平行BC
令DF交AB于N 则N是AB的中点
EN垂直于AB
角DAC+角CAB=60+30=90
所以 角DAN=角ENB=直角 DA平行于EN
四边形ADNE是平行四边形
所以 AB平分DE

Answer 2

连AF,FC
∵△ABE是等边三角形，BF=EF
∴AF是∠BAE的平分线，
∴∠BAF=∠BAE=60/2=30°
∵∠BAC=30°
∴∠BAF=∠BAC
∴△ABF≌△ABC
∴AF=AC
∵△ACD是等边三角形
∴AC=CD
∴AF=CD
又∠FAD=∠FAC+∠CAD=120°，∠ADC=60°
∴∠FAD+∠CDA=180
∴AF∥CD
∴四边形AFCD是平行四边形
∴AM=CM

Answer 3

设BC=1，则AB=2，AC=√3。设DF交AB于N，DE交AB于O。连接NE、CN、CF
两边延长BC，分别过D、F作BC的垂线交BC延长线于G、H

在RT⊿DCG和⊿FBH中，容易通过计算得到DG=FH
显然有DF//BC//AE，M、N分别为AC、AB的中点

因DM为⊿ADC的高，MN、NF为中位线，通过计算知DM=MF
则ADCF为菱形，有AD//CF且AD=CF

易知CN//BF且CN=BF，而BF=EF
则CFEN为平行四边形，有CF//NE且CF=NE

所以AD//NE且AD=NE，即ADNE为平行四边形
对角线DE、AN的交点平分对角线
O在AB上，所AB平分DE