Question

阅读下列材料：问题：如图（1），已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF=45°． 判断线段

阅读下列材料：问题：如图（1），已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF=45°． 判断线段BE、EF、FD之间的数量关系，并说明理由．小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△DAF绕点A顺时针旋转90°，得到△BAH，然后通过证明三角形全等可得出结论．请你参考小明同学的思路，解决下列问题：（1）图（1）中线段BE、EF、FD之间的数量关系是______；（2）如图（2），已知正方形ABCD边长为5，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF=45°，AG⊥EF于点G，则AG的长为______，△EFC的周长为______；（3）如图（3），已知△AEF中，∠EAF=45°，AG⊥EF于点G，且EG=2，GF=3，则△AEF的面积为______．

Answer 1

（1）EF=BE+DF．理由如下：
∵将△DAF绕点A顺时针旋转90°，得到△BAH，
∴△ADF≌△ABH，
∴∠DAF=∠BAH，AF=AH，
∴∠FAH=90°，
∴∠EAF=∠EAH=45°，
在△FAE和△HAE中，

AF＝AH   ∠FAE＝∠HAE AE＝AE

，
∴△FAE≌△HAE（SAS），
∴EF=HE=BE+HB，
∴EF=BE+DF；

（2）∵△FAE≌△HAE，AG、AB分别是△FAE与△HAE的高，
∴AG=AB=5．
在△AEG与△ABE中，∠AGE=∠ABE=90°，

AE＝AE AG＝AB

，
∴Rt△AEG≌Rt△ABE（HL），
∴EG=BE，
同理GF=DF，
∴△EFC的周长=EC+EF+FC=EC+EG+GF+FC=EC+BE+DF+FC=BC+CD=10；

（3）将△AEF置于图（2）中．
∵EG=2，GF=3，
∴BE=2，DF=3，EF=5．
设AB=x，则CE=x-2，CF=x-3，
在△CEF中，∵∠C=90°，
∴FC²+EC²=EF²，
故（x-3）²+（x-2）²=5²，
解得：x₁=-1（舍去），x₂=6，
∴AB=6，
∴AG=AB=6，
∴△AEF的面积=

1

2

EF?AG=

1

2

×5×6=15．
故答案为EF=BE+DF；5，10；15．