Question

已知椭圆的焦点坐标为F1（-1，0），F2（1，0），过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点，且|PQ|=3．（1）

已知椭圆的焦点坐标为F1（-1，0），F2（1，0），过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点，且|PQ|=3．（1）求椭圆的方程；（2）过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，则△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由焦点坐标可得c=1…（1分）
由|PQ|=3，可得

2b2

a

=3，…（2分）
又a²-b²=1，解得a=2，b=

3

，…（3分）
故椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1…（4分）
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），不妨y₁＞0，y₂＜0，设△F₁MN的内切圆的径R，
则△F₁MN的周长=4a=8，S△F1MN＝

1

2

（|MN|+|F₁M|+|F₁N|）R=4R
因此S△F1MN最大，R就最大，…（6分）
由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，
由

x＝my+1 x2 4 + y2 3 ＝1

得（3m²+4）y²+6my-9=0，…（8分）
得y1＝

?3m+6 m2+1

3m2+4

，