如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，侧面PBC⊥底面ABCD，O
如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，侧面PBC⊥底面ABCD，O是BC中点，AO交BD于E．（1...
如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，侧面PBC⊥底面ABCD，O是BC中点，AO交BD于E．（1）求证：PA⊥BD；（2）求二面角P-DC-B的大小；（3）求证：平面PAD⊥平面PAB．
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解答：
方法一：（1）证明：∵PB=PC，∴PO⊥BC
又∵平面PBC⊥平面ABCD
平面PBC∩平面ABCD=BC，∴PO⊥平面ABCD（2分）
在梯形ABCD中，可得Rt△ABO≌Rt△BCD∴∠BEO=∠OAB+∠DBA=∠DBC+∠DBA=90°，
即AO⊥BD∵PA在平面ABCD内的射影为AO，∴PA⊥BD（4分）
（2）解：∵DC⊥BC，且平面PBC⊥平面ABCD
∴DC⊥平面PBC∵PC?平面PBC，∴DC⊥PC
∴∠PCB为二面角P-DC-B的平面角（6分）
∵△PBC是等边三角形，∴∠PCB=60°，即二面角P-DC-B的大小为60°（8分）
（3）证明：取PA，PB的中点M，N，连接CN
∵PC=BC，∴CN⊥PB①∵AB⊥BC，且平面PBC⊥平面ABCD∴AB⊥平面PBC（10分）
∵AB?平面PAB∴平面PBC⊥平面PAB，CN⊥AB②
由①、②知CN⊥平面PAB
连接DM、MN，则由MN∥AB∥CD
MN=
AB=CD，得四边形MNCD为平行四边形
∴CN∥DM
∴DM⊥平面PAB
∵DM?平面PAD∴平面PAD⊥平面PAB（12分）
方法二：取BC的中点O，因为△PBC是等边三角形，
由侧面PBC⊥底面ABCD得PO⊥底面ABCD（1分）
以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，过点O与
AB平行的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系
O-xyz（2分）
（1）证明：∵CD=1，则在直角梯形中，AB=BC=2
在等边三角形PBC中，PO＝
∴A(1，?2，0)，B(1，0，0)，D(?1，?1，0)，P(0，0，
)
∴
＝(?2，?1，0)，
＝(1，?2，?
)
∵
?
＝(?2)×1+(?1)×(?2)+0×(?
)＝0
∴
⊥
，即PA⊥BD（4分）
（2）解：取PC中点N，则
＝(?
，0，
)
∵
=（0，2，0），
=（1，0，
）
∴
?
=（-
）×0+0×2+
×0=0
?
=（-
）×1+0×0+
方法一：（1）证明：∵PB=PC，∴PO⊥BC又∵平面PBC⊥平面ABCD
平面PBC∩平面ABCD=BC，∴PO⊥平面ABCD（2分）
在梯形ABCD中，可得Rt△ABO≌Rt△BCD∴∠BEO=∠OAB+∠DBA=∠DBC+∠DBA=90°，
即AO⊥BD∵PA在平面ABCD内的射影为AO，∴PA⊥BD（4分）
（2）解：∵DC⊥BC，且平面PBC⊥平面ABCD
∴DC⊥平面PBC∵PC?平面PBC，∴DC⊥PC
∴∠PCB为二面角P-DC-B的平面角（6分）
∵△PBC是等边三角形，∴∠PCB=60°，即二面角P-DC-B的大小为60°（8分）
（3）证明：取PA，PB的中点M，N，连接CN
∵PC=BC，∴CN⊥PB①∵AB⊥BC，且平面PBC⊥平面ABCD∴AB⊥平面PBC（10分）
∵AB?平面PAB∴平面PBC⊥平面PAB，CN⊥AB②
由①、②知CN⊥平面PAB
连接DM、MN，则由MN∥AB∥CD
MN=
| 1 |
| 2 |
∴CN∥DM
∴DM⊥平面PAB
∵DM?平面PAD∴平面PAD⊥平面PAB（12分）
方法二：取BC的中点O，因为△PBC是等边三角形，
由侧面PBC⊥底面ABCD得PO⊥底面ABCD（1分）
以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，过点O与
AB平行的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系
O-xyz（2分）
（1）证明：∵CD=1，则在直角梯形中，AB=BC=2
在等边三角形PBC中，PO＝
| 3 |
∴A(1，?2，0)，B(1，0，0)，D(?1，?1，0)，P(0，0，
| 3 |
∴
| BD |
| PA |
| 3 |
∵
| BD |
| PA |
| 3 |
∴
| PA |
| BD |
（2）解：取PC中点N，则
| BN |
| 3 |
| 2 |
| ||
| 2 |
∵
| DC |
| CP |
| 3 |
∴
| BN |
| DC |
| 3 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| BN |
| CP |
| 3 |
| 2 |
|
