Question

如图，正方形ABCD的边长为4，E、F分别是BC、CD上的两个动点，且AE⊥EF．则AF的最小值是____________.

如图，正方形ABCD的边长为4，E、F分别是BC、CD上的两个动点，且AE⊥EF．则AF的最小值是____________.

Answer 1

5

设BE=x，则EC=4﹣x，先利用等角的余角相等得到∠BAE=∠FEC，则可判断Rt△ABE∽Rt△ECF，利用相似比可表示出FC= ，则DF=4﹣FC=4﹣ = x 2 ﹣x+4= （x﹣2） 2 +3，所以x=2时，DF有最小值3，而AF 2 =AD 2 +DF 2 ，即DF最小时，AF最小，AF的最小值为 =5． 解：设BE=x，则EC=4﹣x， ∵AE⊥EF， ∴∠AEF=90°， ∴∠AEB+∠FEC=90°， 而∠AEB+∠BAE=90°， ∴∠BAE=∠FEC， ∴Rt△ABE∽Rt△ECF， ∴ = ，即 = ，解得FC= ， ∴DF=4﹣FC=4﹣ = x 2 ﹣x+4= （x﹣2） 2 +3 当x=2时，DF有最小值3， ∵AF 2 =AD 2 +DF 2 ， ∴AF的最小值为 =5． 故答案为：5．