Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC="4" cm ，BC="3" cm，⊙O为△ABC的内切圆.（1）求⊙O的半径；（2）点

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC="4" cm ，BC="3" cm，⊙O为△ABC的内切圆.（1）求⊙O的半径；（2）点P从点B沿边BA向点A以点1cm/s 的速度匀速运动，以点P为圆心，PB长为半径作圆.设点P运动的时间为 t s.若⊙P与⊙O相切，求t的值.

Answer 1

（1）1 cm；（2） 或2.

试题分析：（1）设⊙O与AB，BC，CA的切点分别为D，E，F，连接OD，OE，OF，根据切线的性质证明四边形CEOF是正方形，由勾股定理求AB的长，把AD，BD用半径r的代数式表示，从而根据 列方程求解即可. （2）为⊙P与⊙O外切和⊙P与⊙O内切两种情况讨论即可. 试题解析：（1）如图，设⊙O与AB，BC，CA的切点分别为D，E，F，连接OD，OE，OF， 则AD=AF，BD=BE，CE=CF. ∵⊙O为△ABC的内切圆，∴OF⊥AC，OE⊥BC，即∠OFC=∠OEC=90°. 又∵∠C=90°，∴四边形CEOF是矩形. 又∵OE=OF，∴四边形CEOF是正方形. 设⊙O的半径为r cm，则FC="EC=OE=" r cm， 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC="4" cm ，BC="3" cm，∴ . ∵ ， ∴ ，解得r=1. ∴⊙O的半径为1 cm. （2）如图，过点P作PG⊥BC于点G， ∵∠PGB=∠C=90°，∴PG∥AC.∴△PBG∽△ABC.∴ . 又∵BP=t，∴ . 若⊙P与⊙O相切，，则可分为⊙P与⊙O外切和⊙P与⊙O内切两种情况： ①如图，当⊙P与⊙O外切时，连接OP，则OP=1+t. 过点P作PH⊥OE于点H， ∵∠PHE=∠HEG=∠PGE=90°，∴四边形PHEG是矩形.∴HE=PG，PH=GE. ∴ . 在Rt△OPH中，由勾股定理，得 ，解得 . ②如图，当⊙P与⊙O内切时，连接OP，则OP= . 过点O作OM⊥PG于点M， ∵∠MGE=∠OEG=∠OMG=90°，∴四边形OEGM是矩形.∴MG=OE，OM=EG. ∴ . 在Rt△OPM中，由勾股定理，得 ，解得 . 综上所述，当⊙P与⊙O相切时， 或2.