Question

如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为边长为5的正方形，AE⊥平面CDE，AE=3．（1）若F为DE的中点，求证：BE

如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为边长为5的正方形，AE⊥平面CDE，AE=3．（1）若F为DE的中点，求证：BE∥平面ACF；（2）求直线BE与平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

（1）证明：连结AC，BD交于O，连OF．
∵F为DE中点，O为BD中点，
∴OF∥BE，
∵OF?平面ACF，BE?平面ACF，
∴BE∥平面ACF．…（6分）
（2）解：过E作EH⊥AD于H，连结BH，…（7分）
∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，
∴AE⊥CD，
∵CD⊥AD，AE∩AD=A，AD，AE?平面DAE，
∴CD⊥平面DAE，
∵EH?平面DAE，
∴CD⊥EH，
∵CD∩AD=D，CD，AD?平面ABCD，
∴EH⊥平面ABCD，
∴BH为BE在平面ABCD内的射影，
∴∠EBH为BE与平面ABCD的所成角的平面角，
又∵CD∥AB，∴AB⊥平面DAE，
∴△ABE为直角三角形，
∴BE=

34

，且HE=

12

5

，
∴sin∠EBH=

6 34

85

．…（12分）