Question

如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（-8，0），直线BC经过点B（-8，6），C（0，6），

如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（-8，0），直线BC经过点B（-8，6），C（0，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转a度得到四边形OA′B′C′，此时直线OA′、直线B′C′分别与直线BC相交于点P、Q．（1）四边形OABC的形状是______，当a=90°时，BPBQ的值是______．（2）如图2，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在直线BC上时，求△OPB′的面积．（3）在四边形OABC旋转过程中，当0＜a≤180°时，是否存在这样的点P和点Q，使BP=12BQ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵点A的坐标为（-8，0），直线BC经过点B（-8，6），C（0，6），
∴BC=AO=8，BC∥AO，
∴四边形OABC是平行四边形．
又OC⊥OA，
∴平行四边形OABC的形状是矩形；
当α=90°时，P与C重合，如图1，
BP=8，BQ=BP+OC=8+6=14，则

BP

BQ

=

8

14

=

4

7

．
故答案是：矩形；

4

7

；

（2）如图2，在△OCP和△B′A′P中，

∠OPC=∠B′PA′   ∠OCP=∠A′=90°   OC=B′A′

，
∴△OCP≌△B′A′P（AAS）．
∴OP=B′P．设B′P=x，
在Rt△OCP中，（8-x）²+6²=x²，解得x=

25

4

．
∴S_△OPB′=

1

2

B′P?OC=

1

2

×

25

4

×6=

75

4

；

（3）存在这样的点P和点Q，使BP=

1

2

BQ．
理由如下：过点Q画QH⊥OA′于H，连接OQ，则QH=OC′=OC，
∵S_△POQ=

1

2

PQ?OC，S_△POQ=

1

2

OP?QH，
∴PQ=OP．
设BP=x，∵BP=

1

2

BQ，
∴BQ=2x，
如图3，当点P在点B左侧时，
OP=PQ=BQ+BP=3x，
在Rt△PCO中，（8+x）²+6²=（3x）²，
解得x₁=1+

3 6

2

，x₂=1-

3 6

2

，（不符实