Question

已知函数f（x）=ex+2x2-3x．（1）求证：函数f（x）在区间[0，1]上存在唯一的极值点；（2）当x≥12时，若

已知函数f（x）=ex+2x2-3x．（1）求证：函数f（x）在区间[0，1]上存在唯一的极值点；（2）当x≥12时，若关于x的不等式f(x)≥52x2+(a?3)x+1恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）∵f′（0）=e⁰-3=-2＜0，f′（1）=e+1＞0，
∴f′（0）?f′（1）＜0，
令h（x）=f′（x）=e^x+4x-3，则h′（x）=e^x+4＞0，
∴f′（x）在[0，1]上单调递增，∴f′（x）在[0，1]上存在唯一零点，
∴f（x）在[0，1]上存在唯一的极值点

（2）由 f(x)≥

5

2

x2+(a?3)x+1，
得 ex+2x2?3x≥

5

2

x2+(a?3)x+1，
即 ax≤ex?

1

2

x2?1，
∵x≥

1

2

，∴a≤

ex? 1 2 x2?1

x

，
令 g(x)＝

ex? 1 2 x2?1

x

，则 g′(x)＝

ex(x?1)? 1 2 x2+1

x2

，
令 ?(x)＝ex(x?1)?

1

2

x2+1，则?'（x）=x（e^x-1）
∵x≥

1

2

，∴?'（x）＞0，∴?（x）在 [

1

2

，+∞)上单调递增，
∴?(x)≥?(

1

2

)＝

7

8

?

1

2

e

＞0，
因此g'（x）＞0，故g（x）在 [

1

2

，+∞)上单调递增，
则 g(x)≥g(

1

2

)＝

e 1 2 ? 1 8 ?1

1 2

＝2

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