Question

已知定义在区间[?π，3π2]上的函数y=f（x）图象关于直线x＝π4对称，当x≥π4时，f（x）=-sinx．（1）作

已知定义在区间[?π，3π2]上的函数y=f（x）图象关于直线x＝π4对称，当x≥π4时，f（x）=-sinx．（1）作出y=f（x）的图象；（2）求y=f（x）的解析式；（3）若关于x的方程f(x)＝?910有解，将方程所有的解的和记为M，结合（1）中函数图象，求M的值．

Answer 1

（1）y=f（x）的图象如图所示．
（.4分）
（2）任取x∈[-π，

π

4

]，则

π

2

-x∈[

π

4

，

3π

2

]，由于函数f（x）图象关于直线x＝

π

4

对称，
则f(x)＝f(

π

2

?x)．（6分）
又当x≥

π

4

时，f（x）=-sinx，则f(x)＝f(

π

2

?x)=-sin（

π

2

-x）=-cosx，（8分）
即f(x)＝

?cosx，x∈[?π， π 4 ) ?sinx，x∈[ π 4 ， 3π 2 ]

．（10分）
（3）因为-

9

10

∈（-1，-

2

2

），f（x）=-

9

10

 有4个根满足 x₁＜x₂＜

π

4

＜x₃＜x₄，（12分）
由对称性得，x₁+x₂=0，x₃+x₄=π，则M=x₁+x₂ +x₃+x₄=π．（14分）