Question

设不等式组x＞0y＞0y≤?nx+3n所表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点个数为an（n∈N*）．（整点即横坐标和纵

设不等式组x＞0y＞0y≤?nx+3n所表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点个数为an（n∈N*）．（整点即横坐标和纵坐标均为整数的点）（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）记数列{an}的前n项和为Sn，且Tn＝Sn3?2n?1，若对于一切的正整数n，总有Tn≤m，求实数m的取值范围．

Answer 1

（I）由x＞0，y＞0，3n-nx＞0，得0＜x＜3，∴x=1或x=2，
∴D_n内的整点在直线x=1和x=2上，记直线y=-nx+3n为l，l与直线x=1，x=2的交点的纵坐标分别为y₁、y₂，
则y₁=-n+3n=2n，y₂=-2n+3n=n，
∴an＝3n(n∈N*)；
（II）∵Sn＝3(1+2+3+…+n)＝

3n(n+1)

2

，

∴Tn＝ n(n+1) 2n ∴Tn+1?Tn＝ (n+1)(n+2) 2n+1 ? n(n+1) 2n ＝ (n+1)(2?n) 2n+1

∴当n≥3时，T_n＞T_n+1，且T1＝1＜T2＝T3＝

3

2

，
∴T₂，T₃是数列{T_n}中的最大项，故m≥T2＝

3

2

；