Question

已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点M是BE的中点，连接CM．当点D在AB上，点E在A

已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点M是BE的中点，连接CM．当点D在AB上，点E在AC上时（如图一），连接DM，可得结论：DC=2CM．将△ADE绕点A逆时针旋转，当点D在AC上（如图二）或当点E在BA的延长线上（如图三）时，请你猜想DC与CM有怎样的数量关系，并选择一种情况加以证明．

Answer 1

（1）DC=

2

CM
如图二，连接DM并延长DM交BC于N，
∵∠EDA=∠ACB=90°，
∴DE∥BC，
∴∠DEM=∠MBC，
∵在△EMD和△BMN中，

∠DEM＝∠NBM EM＝BM ∠EMD＝∠NMB

，
∴△EMD≌△BMN（ASA），
∴BN=DE=DA，MN=MD
∵BA=BC，
∴CD=CN，
∴△DCN是等腰直角三角形，且CM是底边的中线，
∴CM⊥DM，∠DDM=

1

2

∠DCN=45°=∠BCM，
∴△CMD为等腰直角三角形．
∴DC=

2

CM；
（2）DC=

2

CM，
理由：如图三，连接DM，过点B作BN∥DE交DM的延长线于N，连接CN，
∴∠E=∠MBN=45°．
∵点M是BE的中点，
∴EM=BM．
∵在△EMD和△BMN中，

∠E＝∠MBN EM＝BM ∠DME＝∠NMB

∴△EMD≌△BMN（ASA），
∴BN=DE=DA，MN=MD，
∵∠DAE=∠BAC=∠ABC=45°，
∴∠DAC=∠NBC=90°
∵在△DCA和△NCB中

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