Question

已知函数f（x）=a-22x+1（a∈R）．（1）若函数f（x）为奇函数，求实数a的值；（2）判断并证明函数的单调

已知函数f（x）=a-22x+1（a∈R）．（1）若函数f（x）为奇函数，求实数a的值；（2）判断并证明函数的单调性；（3）在（1）、（2）的条件下，若对任意的t∈R，不等式f（t2+2）≥f（k+2t）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）函数f（x）为R上的奇函数，则f（0）=0，
即有a-

2

20+1

=0，解得，a=1；
（2）函数f（x）在R上递增．
理由如下：设m＜n，则f（m）-f（n）=1-

2

2m+1

-（1-

2

2n+1

）
=

2(2m?2n)

(1+2m)(1+2n)

，
由于m＜n，则2^m＜2ⁿ，即2^m-2ⁿ＜0，2^m＞0，2ⁿ＞0，
则f（m）-f（n）＜0，即有函数f（x）在R上递增；
（3）由于函数f（x）在R上递增，
则不等式f（t²+2）≥f（k+2t）对任意的t∈R恒成立，
即为t²+2≥k+2t对任意的t∈R恒成立，
即k≤t²-2t+2=（t-1）²+1，
当t=1时，右边去最小值1．
故k≤1．
故实数k的取值范围是（-∞，1]．