Question

已知向量， m =（sinB，1-cosB），且向量 m 与向量 n

已知向量， m =（sinB，1-cosB），且向量 m 与向量 n =（2，0）的夹角 π 3 ，其中A、B、C是△ABC的内角．（1）求角B的大小；（2）求cosA?cosC的取值范围．

Answer 1

（1）由题意得， m ? n =2sinB， | m |= si n 2 B+(1-cosB ) 2 = 2-2cosB ， ∵ m 与 n 的夹角为 π 3 ， ∴ cos π 3 = m ? n | m || n | ，即 1 2 = 2sinB 2 2-2cosB ， 化简得，2sin 2 B=1-cosB，即2cos 2 B-cosB-1=0， 解得cosB=1或cosB= - 1 2 ， ∵0＜B＜π，∴B= 2π 3 ， （2）由（1）得，B= 2π 3 ，则A+C= π- 2π 3 = π 3 ，∴C= π 3 -A ， ∴cosA?cosC=cosA?cos（ π 3 -A ） =cosA（ 1 2 cosA+ 3 2 sinA ）= 1 2 co s 2 A+ 3 2 sinAcosA = 1 2 ? 1+cos2A 2 + 3 4 sin2A = 1 2 ( 3 2 sin2A+ 1 2 cos2A)+ 1 4 = 1 2 sin(2A+ π 6 )+ 1 4 由C= π 3 -A ＞0得，0＜A＜ π 3 ，则 π 6 ＜2A+ π 6 ＜ 5π 6 ， ∴ 1 2 ＜sin(2A+ π 6 )≤1 ， 则 1 2 ＜ 1 2 sin(2A+ π 6 )+ 1 4 ≤ 3 4 ， 故cosA?cosC的取值范围是： ( 1 2 ， 3 4 ] ．