Question

已知：如下图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中

已知：如下图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G。（1）求证：BF=AC；（2）求证：CE= BF；（3）CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论。

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Answer 1

解：（1）∵CD⊥AB，∠ABC=45°， ∴△BCD是等腰直角三角形， ∴BD=CD， 在Rt△DFB和Rt△DAC中， ∵∠DBF=90°﹣∠BFD，∠DCA=90°﹣∠EFC， 且∠BFD=∠EFC， ∴∠DBF=∠DCA， 又∵∠BDF=∠CDA=90°，BD=CD， ∴Rt△DFB≌Rt△DAC， ∴BF=AC； （2）在Rt△BEA和Rt△BEC中， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE， 又∵BE=BE，∠BEA=∠BEC=90°， ∴Rt△BEA≌Rt△BEC， ∴CE=AE= AC， 又由（1），知BF=AC， ∴CE= AC= BF； （3）2CE 2 =BG 2 证明：∠ABC=45°，CD垂直AB于D， 则CD=BD，H为BC中点， 则DH⊥BC（等腰三角形“三线合一”） 连接CG， 则BG=CG，∠GCB=∠GBC=22.5°，∠EGC=45°， 又∵BE垂直AC， 故∠EGC=∠ECG=45°，CE=GE， ∴CE 2 +GE 2 =CG 2 =BG 2 ； 即2CE 2 =BG 2 ，BG= CE。