Question

已知，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为AB的中点，若E在直线AC上任意一点，DF⊥DE，交直线BC于F点．G为EF

已知，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为AB的中点，若E在直线AC上任意一点，DF⊥DE，交直线BC于F点．G为EF的中点，延长CG交AB于点H．（1）若E在边AC上．①试说明DE=DF；②试说明CG=GH；（2）若AE=3，CH=5．求边AC的长．

Answer 1

（1）①连接CD，
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，AC=BC，
∴CD=AD=BD，
又∵AC=BC，
∴CD⊥AB，
∴∠EDA+∠EDC=90°，∠DCF=∠DAE=45°，
∵DF⊥DE，
∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中

∠A＝∠DCF AD＝CD ∠ADE＝∠CDF

∴△ADE≌△CDF，
∴DE=DF．

②连接DG，
∵∠ACB=90°，G为EF的中点，
∴CG=EG=FG，
∵∠EDF=90°，G为EF的中点，
∴DG=EG=FG，
∴CG=DG，
∴∠GCD=∠CDG
又∵CD⊥AB，
∴∠CDH=90°，
∴∠GHD+∠GCD=90°，∠HDG+∠GDC=90°，
∴∠GHD=∠HDG，
∴GH=GD，
∴CG=GH．

（2）如图，当E在线段AC上时，
∵CG=GH=EG=GF，
∴CH=EF=5，
∵△ADE≌△CDF，
∴AE=CF=3，
∴在Rt△ECF中，由勾股定理得：CE＝

EF2?CF2

＝4，
∴AC=AE+EC=3+4=7；
如图，当E在线段CA延长线时，
AC=EC-AE=4-3=1，
综合上述AC=7或1．