Question

函数f（x）对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x成立，且f（1）=0，（1）求f（0）的值；（2）

函数f（x）对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x成立，且f（1）=0，（1）求f（0）的值；（2）当0≤x≤12时，f（x）+3＜2x+a恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵函数f（x） 对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立
∴令x=1，y=0，f（1+0）-f（0）=1×（1+2×0+1）?f（0）=-2．
（2）令 y=0，可得  f（x）=x²+x-2，当0≤x≤

1

2

时，f（x）+3＜2x+a恒成立，
即x²+x+1＜2x+a，即x²-x+1＜a当0≤x≤

1

2

时，恒成立．
令h（x）=x²-x+1，对称轴为：x＝

1

2

，在0≤x≤

1

2

的最大值为：f（0）=1，
所以a＞1．
实数a的取值范围：（1，+∞）．