Question

已知数列{an}，a1=a，a2=p（p为常数且p＞0），Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=n(an?a1)2．（Ⅰ）求a的值；

已知数列{an}，a1=a，a2=p（p为常数且p＞0），Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=n(an?a1)2．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）试判断数列{an}是不是等差数列？若是，求其通项公式；若不是，请说是理由．（Ⅲ）若记Pn=Sn+2Sn+1+Sn+1Sn+2（n∈N*），求证：P1+P2+…+Pn＜2n+3．

Answer 1

（Ⅰ）依题意a₁=a，又a₁=S1＝

1?(a1?a1)

2

=0，
∴a=0；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a₁=0，
∴Sn＝

nan

2

，则Sn+1＝

n+1

2

an+1，两式相减得（n-1）a_n+1=na_n，
故有an＝

an

an?1

?

an?1

an?2

…

a3

a2

?a2=（n-1）p，n≥2，
又a₁=0也满足上式，∴a_n=（n-1）p，n∈N₊，
故{a_n}为等差数列，其公差为p．
（Ⅲ）由题意Sn＝

n(n?1)p

2

，
∴P_n=

Sn+2

Sn+1

+

Sn+1

Sn+2

=

n+2

n

+

n

n+2

=2+

2

n

?

2

n+2

，
∴P₁+P₂+…+P_n=（2+

2

1

-

2

3

）+（2+

2

2

-

1

2

）+…+（2+

2

n

?

2

n+2

）
=2n+3-

2

n+1

?

2

n+2

＜2n+3．