Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn-1，其中λ为常数． （

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn-1，其中λ为常数． （Ⅰ）证明：an+2-an=λ （Ⅱ）是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．

Answer 1

(1)证明：由题设，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，
两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.
因为an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.
(2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得 a2＝λ－1，
由(1)知，a3＝λ＋1.
若{an}为等差数列，则2a2＝a1＋a3，解得λ＝4，故an＋2－an＝4.
由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，
a2n－1＝4n－3；
{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.
所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.
因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．

Answer 2

有没有抄错啊Sn-1那个,我想应该是Sn

追问

已算出，谢