Question

已知△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG‖BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE,BD。

①求证：△AGE≌△DAB
②过点E作EF‖DB，交BC于点F，连接AF，求∠AFE的度数

Answer 1

（1）∵△ABC是等边三角形，且GE‖BC，
∴△AGD也是等边△，AD=AG=GD
又∵DE=CD,
∴AD+DC=GD+DE,即AC=GE，也即GE=AB
且∠AGE=∠BAD=60
∴△AGE≌△DAB(边角边）

(2)∵△AGE≌△DAB
∴AE=BD④.
又∵∠ADG=∠ACB=60,ED=CD
∴△CDE为等边三角形，CE=CD.
∵CE=CD,AE=BD,BC=AC,
∴△ACE≌△BCD,∠CAE=∠CBD①
∵EG‖BC,BD‖EF
∴四边形BDEF是平行四边形，EF=BD③,∠FED=∠CBD②
由①②得∠FED=∠CAE⑥,由③④得AE=EF，所以∠EAF=∠AFE⑤
在△AEF中，∠EAF+∠AFE+∠AEF=180,即2∠AFE+∠AEF=180
∵∠AED=∠ADG-∠DAE=60-∠DAE,
根据①⑥，∠AEF=∠AED+∠FED=60-∠DAE+∠DAE=60
∴2∠AFE+60=180,∠AFE=60

Answer 2

1）∵△ABC是等边三角形，且GE‖BC，
∴△AGD也是等边△，AD=AG=GD
又∵DE=CD,
∴AD+DC=GD+DE,即AC=GE，也即GE=AB
且∠AGE=∠BAD=60
∴△AGE≌△DAB(边角边）

(2)∵△AGE≌△DAB
∴AE=BD④.
又∵∠ADG=∠ACB=60,ED=CD
∴△CDE为等边三角形，CE=CD.
∵CE=CD,AE=BD,BC=AC,
∴△ACE≌△BCD,∠CAE=∠CBD①
∵EG‖BC,BD‖EF
∴四边形BDEF是平行四边形，EF=BD③,∠FED=∠CBD②
由①②得∠FED=∠CAE⑥,由③④得AE=EF，所以∠EAF=∠AFE⑤
在△AEF中，∠EAF+∠AFE+∠AEF=180,即2∠AFE+∠AEF=180
∵∠AED=∠ADG-∠DAE=60-∠DAE,
根据①⑥，∠AEF=∠AED+∠FED=60-∠DAE+∠DAE=60
∴2∠AFE+60=180,∠AFE=60赞同