Question

如图，梯形ABCD中，AB ∥ CD，△ABD为等腰直角三角形，∠ADB=90゜，AC=AB，AC与BD相交于E点，CF⊥AB于点F

如图，梯形ABCD中，AB ∥ CD，△ABD为等腰直角三角形，∠ADB=90゜，AC=AB，AC与BD相交于E点，CF⊥AB于点F，交BD于G点．下列结论：①CF= 1 2 AB；②BE=BC；③BC= 2 CD；④CE=2BF，其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

Answer 1

①过D作DH⊥AB，垂足为H． ∵△ABD为等腰直角三角形， ∴DH是斜边AB上的中线，DH= 1 2 AB； ∵CD ∥ AB，CF⊥AB， ∴四边形DHFC是矩形， ∴CF=DH= 1 2 AB，故正确． ②∵CF= 1 2 AB，AC=AB， ∴CF= 1 2 AC， ∴∠CAB=30°； 在等腰△ABC中，∠ACB=∠ABC=（180°-30°）÷2=75°， ∵∠DBA=45°， ∴∠DBC=75°-45°=30°， 在△BEC中，∠BEC=180°-30°-75°=75°=∠BCE， ∴BE=BC．故正确； ③过C作CK⊥BD，K是垂足， ∵CD ∥ AB，∠BDC=∠DBA=45°， ∴△CKD是等腰直角三角形， ∴CK= 2 2 CD， ∵在△BCK中，∠DBC=30°， ∴BC=2CK= 2 CD，故正确． ④直角△CBF中，∠BCF=90°-75°=15°， ∵△BEC是顶角为30°的等腰三角形， 过B作BM⊥CE，垂足为M，则CM=EM= 1 2 CE，∠CBM= 1 2 ∠CBE=15°， ∴∠BCF=∠CBME， 在△BCF和△CBM中， ∠BCF=∠CBM ∠CFB=∠CMB=90° BC=CB ∴△BCF≌△CBM（AAS）， ∴BF=CM= 1 2 CE， 即CE=2BF．故正确． 故选D．