Question

已知函数f（x）= x 3 -ax 2 +（a 2 -1）x+b（a，b∈R），其图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0

已知函数f（x）= x 3 -ax 2 +（a 2 -1）x+b（a，b∈R），其图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间，并求出f（x）在区间[-2，4]上的最大值。

Answer 1

解：（Ⅰ）f′（x）=x 2 -2ax+a 2 -1， ∵（1，f（1））在x+y-3=0上， ∴f（1）=2， ∵（1，2）在y=f（x）上， ∴ ， 又f′（1）=-1， ∴a 2 -2a+1=0， 解得a=1， ； （Ⅱ） ， ∴f′（x）=x 2 -2x， 由f′（x）=0可知x=0和x=2是f（x）的极值点， 所以有 所以f（x）的单调递增区间是（-∞，0）和（2，+∞），单调递减区间是（0，2）， ，f（-2）=-4，f（4）=8， ∴在区间[-2，4]上的最大值为8。