Question

已知向量a=(1,2),b=(-2,1),kt为正实数，向量X=a+(t^2+1)b,y=-ka+b/t

(1)若X垂直Y，写出K与T的函数解析式，并求出函数的单调区间和最小值；（2）是否存在KT，使X平行Y？若存在，求K取值范围；若不存在，请说明理由。
拜托，我要过程，谢谢。

Answer 1

1.
向量X Y相互垂直，则Dot(X,Y)=0 (点乘）
X=(i+2j)+(t^2+1)*(-2i+j)=(-2t^2 - 1)i + (t^2+3)j
Y=(-1/K)*(i+2j)+(1/t)*(-2i+j)=(-(2k+t)/kt)i+((k-2t)/kt)j
Dot(X,Y)=[(-2t^-1)(-(2k+t)/kt)+(t^2+3)((k-2t)/kt)] =0
所以
（2t^2+1)(2k+t)+(t^2+3)(k-2t)=0
kt^2-t+k=0
二次方程有解
则 1-4k^2 >= 0
所以k^2<=1/4
k>0 => k最大值=1/2

2.
假如存在k t 使得X,Y平行
则Cross(X,Y)=0 (叉乘）
Cross(X,Y)=[(-2t^2 - 1)*((k-2t)/kt) - (t^2+3)(-(2k+t)/kt)] * k0 (k0表示与向量X Y垂直的向量)

(2t^2-1)(k-2t) = (t^2+3)(2k+t)
t^2 + t + k =0

因为 t>0
所以 k=-t*(t^+1) <0 与 k>0矛盾
所以不存在k t 使得向量X Y平行

Answer 2

解：X=（-1-2t，3
t）
Y=（-1/k-2/t，1/t-2/k）
（1）∵X⊥Y
∴XY=0
XY=（1
2t）（1/k
2/t）
（3
t）（1/t-2/k）
=1/k
2/t
2t/k
4t
3/t
t-6/k-2t/k
=5t
5/t-5/k=0
∴t
1/t=1/k
k=1/（t
1/t）
∵t＞0
∴t
1/t≥2√t·1/t=2
当t=1/t
即t=1时取等号
∴0＜k≤1/2
k的取值范围是（0，1/2]
（2）假设存在k,t，使X∥Y
则有（1/t-2/k）（-1-2t）
（1/k
2/t）（3
t）=0
即-1/t
2/k-2t
4t/k
3/k
6/t
t/k
2t=0
5t/k
5/t
5/k=0
k=-1/（t
1/t）＜0
而k＞0
∴不存在存在k,t，使X∥Y