Question

已知函数f（x）=2x?12x+1，（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；（2）求证函数f（x）在x∈（-∞，+∞）

已知函数f（x）=2x?12x+1，（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；（2）求证函数f（x）在x∈（-∞，+∞）上是增函数．

Answer 1

由题意知：
（1）f（x）是奇函数．
证明：∵对?x∈R
有f(?x)＝

2?x?1

2?x+1

＝

(2?x?1)2x

(2?x+1)2x

＝

1?2x

1+2x

＝?f(x)
∴根据奇函数的定义可知：f（x）是奇函数
（2）任取x₁，x₂∈R，设x₁＜x₂
则f(x1)?f(x2)＝

2x1?1

2x1+1

?

2x2?1

2x2+1

=

(2x1?1)(2x2+1)?(2x1+1)(2x2?1)

(2x1+1)(2x2+1)

=

2(2x1?2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

∵x₁＜x₂且f（x）=2^x为增函数，
∴2x1 ＜2x2
又∵(2x1+1)＞0；(2x2+1)＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
故：函数f（x）在x∈（-∞，+∞）上是增函数．