Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=t，且an+1=2Sn+1，n∈N*．（Ⅰ）当实数t为何值时，数列{an}是等比数列？

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=t，且an+1=2Sn+1，n∈N*．（Ⅰ）当实数t为何值时，数列{an}是等比数列？（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设bn=log3an+1，数列{bnan}的前n项和Tn，证明Tn＜94．

Answer 1

（Ⅰ）方法1：由题意得a_n+1=2S_n+1，a_n=2S_n-1+1（n≥2）
两式相减得a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n．
a_n+1=3a_n（n≥2）
所以当n≥2时，{a_n}是以3为公比的等比数列．
要使n∈N*时，{a_n}是等比数列，则只需

a2

a1

＝

2t+1

t

＝3?t＝1
方法2：由题意，a₁=t，a₂=2S₁+1=2t+1，a₃=2S₂+1=2（a₁+a₂）+1=2（3t+1）+1=6t+3
要使{a_n}为等比数列，则有：a22＝a1a3?(2t+1)2＝t(6t+3)?4t²+4t+1=6t²+3t?2t²-t-1=0
解得t=1或t＝?

1

2

（t＝?

1

2

时，a₂=0，不合题意，舍去）
t=1时，q=3，an＝3n?1，Sn＝

1?3n

1?3

＝

1

2

(3n?1)?2Sn+1＝3n＝an+1符合题意．
所以t=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得知an＝3n?1，b_n=log₃a_n+1=n．

bn

an

＝

n

3n?1

＝n?(

1

3

)n?1．
Tn＝1+2×

1

3

+3×(

1

3

)2+4×(

1

3

)3+…+  n  ×  (

1

3

)n?1①

1

3

Tn＝1×

1

3

+ 2×(

1

3

)2+3×(

1

3

)3+…+(n?1)×(

1

3

)n?1+n×(

1

3

)n②
①-②得

2

3

Tn＝1+

1

3

+(

1

3

)2+(

1

3

)3+…+   (

1

3

)n?1?  n  ×  (

1

3

)n=

1?( 1 3 )n

1? 1 3

?  n  ×  (

1

3

)n．
故Tn＝

9

4

?(

9

4

+

3

2

n)(

1

3

)n＜

9

4

．