Question

已知函数f（x）=mx 3 -x 2 +nx+13（m、n∈R）．（1）若函数f（x）在x=-2与x=1时取得极值，求m、n的值；（

已知函数f（x）=mx 3 -x 2 +nx+13（m、n∈R）．（1）若函数f（x）在x=-2与x=1时取得极值，求m、n的值；（2）当m=n=0时，若f（x）在闭区间[a，b]（a＜b）上有最小值4a，最大值4b，求区间[a，b]．

Answer 1

解（1）f′（x）=3mx 2 -2x+n，由题意知-2和1是方程f′（x）=0的两根，所以-2+1= 2 3m ，-2×1= n 3m ，解得m=- 2 3 ，n=4． （2）当m=n=0时，f（x）=-x 2 +13． ①若a＜b≤0，因为f（x）在[a，b]上单调递增，所以f（a）=4a，f（b）=4b，即 - a 2 +13=4a - b 2 +13=4b ， 所以a，b是方程x 2 +4x-13=0的两个不等实根，但此方程两根异号，与a＜b≤0矛盾，此时无解； ②若0≤a＜b，f（x）在[a，b]上单调递减， 所以f（a）=4b，f（b）=4a，即 - a 2 +13=4b - b 2 +13=4a ，解得a=1，b=3， 所以[a，b]=[1，3]； ③若a＜0＜b，f（x）在[a，0]上单调递增，在[0，b]上单调递减， 所以f（x） max =f（0）=13=4b，b= 13 4 ，f（b）=f（ 13 4 ）=- ( 13 4 ) 2 +13＞0， 因a＜0，最小值4a＜0，所以f（x）在x=a是取得最小值4a，即-a 2 +13=4a，解得a=-2- 17 ， 此时[a，b]=[-2- 17 ， 13 4 ]， 综上所求区间为[1，3]或[-2- 17 ， 13 4 ]．