Question

设x=-1/3是函数f(x)=x ^3+mx ^2+mx-2的一个极值点

1、求函数f(x)的极值
2、若方程f(x)=(f(-a)+f(a))/2在区间[-a,a](a>0)上恰有两个不同的实根，求a的取值范围

Answer 1

1、
f(x)的导函数是：
f'(x)=3x²+2mx+m
因为-1/3是f(x)的一个极值点，
所以有f'(-1/3)=0，即：
3(-1/3)²-2/3m+m=0
解得 m=-1

所以
f(x)=x³-x²-x-2
f'(x)=3x²-2x-1

令f'(x)=0，
解得x1=-1/3，x2=1
即f(x)的极值点在x=-1/3和x=1处。
相应的极值为
f(-1/3)=-43/27，
f(1)=-3
---------------------------

2、若方程f(x)=(f(-a)+f(a))/2在区间[-a,a](a>0)上恰有两个不同的实根，求a的取值范围。
[f(-a)+f(a)]/2
=[(-a)³-(-a)²-(-a)-2+a³-a²-a-2]/2
=(-2a²-4)/2
=-a²-2

方程 x³-x²-x-2=-a²-2 成立，即
x³-x²-x+a²=0
此方程在区间[-a,a](a>0)上恰有两个不同的实根，说明：
(x+m)²(x+n)=0，(m,n在区间 [-a,a] 内)
即
(x²+2mx+m²)(x+n)=0
x³+(2m+n)x²+(m²+2mn)x+m²n=0
此方程与x³-x²-x+a²=0等价
所以得方程组：
2m+n=-1
m²+2mn=-1
m²n=a²
解得：
m=1/3，n=-5/3，a²=-5/27，a无解舍去。
m=-1，n=1，a²=1，a=1或-1

因为a>0
所以a=1。