已知x=1是函数f(x)=mx^3-3(m+1)x^2+nx+1的一个极值点
已知x=1是函数f(x)=mx^3-3(m+1)x^2+nx+1的一个极值点,其中m,n∈R,m<0.(1)求m与n的关系式(2)求f(x)单调区间(3)当x∈[-1,1...
已知x=1是函数f(x)=mx^3-3(m+1)x^2+nx+1的一个极值点,其中m,n∈R,m<0. (1)求m与n的关系式 (2)求f(x)单调区间 (3)当x∈[-1,1]时,函数y=f(x)的图像上任意一点的其热线斜率恒大于3m,求m的取值范围
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(1)f'(x)=3mx^2-6(m+1)x+n.
f'(1)=3m-6(m+1)+n=0,
3m-n+6=0,n=3m+6
(2),f'(x)=3mx^2-6(m+1)x+n=3mx^2-6(m+1)x+3m+6
由f'(x)=0得到.x1=1,x2=(m+2)/m=1+2/m
因为m<0,x2<x1
f'(x)>0得到,(m+2)/m<x<1
所以f(x)的单调增区间为[(m+2)/m,1]
f(x)的单调减区间为(-∞,(m+2)/m],[1,+∞)
(3)当x属于[-1,1]时,f'(x)=3mx^2-6(m+1)x+3m+6>3m
即,3mx^2-6(m+1)x+6>0恒成立.
令g(x)=3mx^2-6(m+1)x+6
m<0,g(x)开口向下
那么根据函数性质 ,只要在-1,1两点函数大于0 即可满足要求
所以g(-1)=9m+12>0
g(1)=-3m>0
-4/3<m<0
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f'(1)=3m-6(m+1)+n=0,
3m-n+6=0,n=3m+6
(2),f'(x)=3mx^2-6(m+1)x+n=3mx^2-6(m+1)x+3m+6
由f'(x)=0得到.x1=1,x2=(m+2)/m=1+2/m
因为m<0,x2<x1
f'(x)>0得到,(m+2)/m<x<1
所以f(x)的单调增区间为[(m+2)/m,1]
f(x)的单调减区间为(-∞,(m+2)/m],[1,+∞)
(3)当x属于[-1,1]时,f'(x)=3mx^2-6(m+1)x+3m+6>3m
即,3mx^2-6(m+1)x+6>0恒成立.
令g(x)=3mx^2-6(m+1)x+6
m<0,g(x)开口向下
那么根据函数性质 ,只要在-1,1两点函数大于0 即可满足要求
所以g(-1)=9m+12>0
g(1)=-3m>0
-4/3<m<0
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f'(x) = 3mx²-6(m+1)x+n
f'(1)=0
即:3m - 6(m+1) +n =0
n=3(m+2)
将n=3(m+2)代入f'(x)
f'(x) = 3mx²-6(m+1)x+3(m+2)
△= 6[(m+1)²-m(m+2)]
= 6
又因m<0
f'(x) <0 ,即f(x)在(-∞,+∞)上,单调递减
当x∈[-1,1]时,f'(x) > 3m
令g(x)=f'(x) - 3m , x∈[-1,1]
g(x)= 3mx²-6(m+1)x+3(m+2)-3m
= 3mx²-6(m+1)x+6
= m [x-(m+1)/m]² - (m²+1)/m >0
当m<-1时,(m+1)/m>0,g(x)最小值是g(-1)
g(-1)=3m+6(m+1)+6>0 ,解得m>0,与题意不合舍去
当-1<m<0时,(m+1)/m>0,g(x)最小值是g(1)
g(1)=3m- 6(m+1)+6>0 ,解得m<0
m的取值范围是:-1<m<0
[x-(m+1)/m]² < (m²+1)/m²
f'(1)=0
即:3m - 6(m+1) +n =0
n=3(m+2)
将n=3(m+2)代入f'(x)
f'(x) = 3mx²-6(m+1)x+3(m+2)
△= 6[(m+1)²-m(m+2)]
= 6
又因m<0
f'(x) <0 ,即f(x)在(-∞,+∞)上,单调递减
当x∈[-1,1]时,f'(x) > 3m
令g(x)=f'(x) - 3m , x∈[-1,1]
g(x)= 3mx²-6(m+1)x+3(m+2)-3m
= 3mx²-6(m+1)x+6
= m [x-(m+1)/m]² - (m²+1)/m >0
当m<-1时,(m+1)/m>0,g(x)最小值是g(-1)
g(-1)=3m+6(m+1)+6>0 ,解得m>0,与题意不合舍去
当-1<m<0时,(m+1)/m>0,g(x)最小值是g(1)
g(1)=3m- 6(m+1)+6>0 ,解得m<0
m的取值范围是:-1<m<0
[x-(m+1)/m]² < (m²+1)/m²
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