Question

已知x=1是函数f（x）=mx3-3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m≠0（1）求m与n的关系式；（2）求

已知x=1是函数f（x）=mx3-3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m≠0（1）求m与n的关系式；（2）求f（x）的单调区间；（3）设函数函数g（x）=1ex2gex-13x3-x2，φ（x）=23x3-x2；试比较g（x）与φ（x）的大小．

Answer 1

（1）f′（x）=3mx²-6（m+1）x+n．
因为x=1是f（x）的一个极值点，所以f'（1）=0，即3m-6（m+1）+n=0．
所以n=3m+6；…（3分）
（2）由（1）知，f′（x）=3mx²-6（m+1）x+3m+6=3m（x-1）[x-（1+

2

m

）]…（5分）
当m＜0时，有1＞1+

2

m

，当x变化时，f（x）与f'（x）的变化如下表：

由上表知，当m＜0时，f（x）在（-∞，1+

2

m

）单调递减，在（1+

2

m

，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减
同理可得：当m＞0时，f（x）在（-∞，1）单调递增，在（1，1+

2

m

）单调递减，在（1+

2

m

，+∞）上单调递增．…（9分）
（3）设函数h（x）=）=（

1

e

x²ge^x-

1

3

x³-x²）-（

2

3

x³-x²）=x²g（e^x-1-x）
由x²≥0，且（e^x-1-x）′=e^x-1-1，故x≥1，（e^x-1-x）′=e^x-1-1≥0
令m（x）=e^x-1-x，所以m（x）在x≥1为增函数，故m（x）≥m（1）≥0
所以h（x）在[1，+∞），h（x）≥0，故g（x）≥φ（x）
当x＜1，（e^x-1-x）′=e^x-1-1＜0
令m（x）=e^x-1-x，所以m（x）在x＜1为减函数，故m（x）＜m（1）＜0
所以h（x）在[1，+∞），h（x）＜0，故g（x）＜φ（x）
综上，x≥1时，g（x）≥φ（x），x＜1时，g（x）＜φ（x） …（14分）