Question

如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点．（1）求异面直线A1M和C1D1所成的

如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点．（1）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；（2）求BM与平面A1B1M所成的角大小．

Answer 1

（1）如图，因为C₁D₁∥B₁A₁，
所以∠MA₁B₁为异面直线A₁M与C₁D₁所成的角．
因为A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，所以∠A₁B₁M=90°，
而A₁B₁=1，B₁M=

2

，故tan∠MA₁B₁=

B1M

A1B1

=

2

．
即异面直线A₁M和C₁D₁所成的角的正切值为

2

．
（2）由A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，BM?平面平面BCC₁B₁，得
A₁B₁⊥BM①
由（1）知，B₁M=

2

，
又BM=

BC2+CM2

=

2

，B₁B=2，
所以B₁M²+BM²=B₁B²，从而BM⊥B₁M②
又A₁B₁∩B₁M=B₁，
∴BM⊥平面A₁B₁M，
∴BM与面A₁B₁M成90度角．