Question

在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1

在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；

Answer 1

（1）∵抛物线y=ax²+bx+2过点A（-3，0），B（1，0），
∴

0＝9a?3b+2 0＝a+b+2

解得

a＝? 2 3 b＝? 4 3

，
∴二次函数的关系解析式为y=-

2

3

x²-

4

3

x+2；

（2）存在．
∵如图1所示，设点P坐标为（m，n），则n=-

2

3

m²-

4

3

m+2．
连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N．
则PM=-

2

3

m²-

4

3

m+2，PN=-m，AO=3．
∵当x=0时，y=-

2

3

×0-

4

3

×0+2=2，
∴OC=2，
∴S_△PAC=S_△PAO+S_△PCO-S_△ACO
=

1

2

AO?PM+

1

2

CO?PN-

1

2

AO?CO
=

1

2

×3×（-

2

3

m²-