Question

已知函数f（x）=ax2-（2a+1）x+a+1．（1）若a=2，解关于x 的不等式f（x）≥0；（2）若对于a∈[-2，2]，f

已知函数f（x）=ax2-（2a+1）x+a+1．（1）若a=2，解关于x 的不等式f（x）≥0；（2）若对于a∈[-2，2]，f（x）＜0恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

（1）若a=2，不等式f（x）≥0等价为2x²-5x+3≥0，
解得x≥

3

2

或x≤1，
∴不等式f（x）≥0的解集为{x|x≥

3

2

，或x≤1}．
（2）∵ax²-（2a+1）x+a+1=a（x-1）²-（x-1），
令g（a）=a（x-1）²-（x-1），
则g（a）是关于a的一次函数，且一次项的系数为（x-1）²≥0，
∴当x-1=0时，f（x）=0不合题意；
当x≠1时，g（a）为[-2，2]上的增函数，
∵f（x）＜0恒成立，
∴只要使g（a）的最大值g（2）＜0即可，
即g（2）=2（x-1）²-（x-1）＜0，
解得1＜x＜

3

2

，
综上，x的取值范围是(1，

3

2

)．

Answer 2

解，a=2，f(x)=2x^2-5ⅹ+3
f(x)≥0，即，2x^2-5x+3≥0
则x≥3/2或x≤1
②，当a=0时，f(x)=-x+1<0，x>1
当a不等于0，f(x)=(ax-a-1)(x-1)
令f(x)=0，x=1或x=1+1/a
当a>0，f(x)<0，则1<x<1/a+1，则ⅹ∈(1，3/2)
当a<0，f(x)<0，则x>1或ⅹ﹤1/a+1
而1+1/a<1
则Ⅹ∈(1，3/2)

Answer 3

解，a=2，f(x)=(2x-3)(ⅹ-1)≥0
则x≥3/2，或x≤1。
(2)，当a=0，f(x)=-x+1<0，x>1
当a≠0，f(x)=(ax-a-1)(x-1)
当a>0，x∈(1，1+1/a)
当a﹤0，x∈(-00，1+1/a)U(1，+00)
则ⅹ∈(1，1+1/a)而a∈[-2，2]
则x∈(1，3/2)