Question

已知函数f（x）=a（x-1x）-2lnx（a∈R），g（x）=-ax，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）

已知函数f（x）=a（x-1x）-2lnx（a∈R），g（x）=-ax，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，则实数a的范围为（　　）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）

Answer 1

若若至少存在一个x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，
即f（x）-g（x）＞0在x∈[1，e]，时有解，
设F（x）=f（x）-g（x）=a（x-

1

x

）-2lnx+

a

x

=ax-2lnx＞0有解，x∈[1，e]，
即a＞

2lnx

x

，
则F′（x）=

2(1?lnx)

x2

，
当x∈[1，e]时，F′（x）=

2(1?lnx)

x2

≥0，
∴F（x）在[1，e]上单调递增，
即F_min（x）=F（1）=0，
因此a＞0即可．
故选：D．