Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且有a1=2，3Sn=5an-an-1（n≥2）（Ⅰ）求数列an的通项公式；（Ⅱ）若bn=（2n

已知数列{an}的前n项和为Sn，且有a1=2，3Sn=5an-an-1（n≥2）（Ⅰ）求数列an的通项公式；（Ⅱ）若bn=（2n-1）an，求数列{bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（Ⅰ）∵3S_n-3S_n-1=5a_n-a_n-1，（n≥2），
∴2an＝an?1，

an

an?1

＝

1

2

，
又∵a₁=2，
∴数列{a_n}是以2为首项，以

1

2

为公比的等比数列．
∴an＝2×(

1

2

)n?1＝(

1

2

)n?2＝22?n；
（Ⅱ）bn＝(2n?1)22?n，
Tn＝1×21+3×20+5×2?1…+(2n?1)?22?n．

1

2

Tn＝1×20+3×2?1+…+(2n?3)?22?n+(2n?1)?21?n．
∴

1

2

Tn＝2+2(20+2?1+…+22?n)?(2n?1)?21?n
=2+

2[1?(2?1)n?1]

1?2?1

?(2n?1)21?n=6-（2n+3）×2^1-n．
∴Tn＝12?(2n+3)×22?n．